TRIGONOMETRI-Periode dan Amplitudo

PERIODE DAN AMPLITUDO

Periode merupakan  panjang interval sudut di mana bagian kurva berulang-ulang; sedangkan, Jarak dari titik tengah ke titik tertinggi atau terendah fungsi disebut  amplitudo.

Contoh Soal :

(berikut akan kami paparkan pencarian periode dan amplitudo secara matematis)

a.       Tentukan periode dari :

1.                    y = sin x 2.                    y = sin 2x

3.                    y = 2 sin x 4.                    y = sin (x+1)

5.                    y = cos x 6.                    y = tan x

Penyelesaian :

1.          y    =          sin x f (x)            =             sin x f (x)            =             sin (x+k.360)0 f (x)            =             sin x f (x+p)        =             sin (x+p) f (x+p)        =             f (x) sin (x+p)0     =             sin (x+k.360)0 p                 =             k.3600 p                 =             3600 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode y=sin x = 360 0.

2.          y                       =      sin 2x f (x)                  =    sin 2x f (x)                  =    sin2 (x+k.360)0 f (x)                  =    sin 2x f (x+p)              =    sin 2(x+p) f (x+p)              =    f (x) sin 2(x+p)0           =    sin 2(x+k.360)0 sin (2x+2p)0        =    sin 2(x+k.360)0 2p                     =    k.3600 2p                     =    3600 P                       =    1800 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode y=sin 2x = 180 0.

3.                   y           =       2 sin x f (x)           =       2 sin x f (x)           =       2 sin (x+k.360)0 f (x)           =       2 sin x f (x+p)      =       2 sin (x+p) f (x+p)      =       f (x) 2sin (x+p)0  =        2sin (x+k.360)0 p                =       k.3600 p                =       3600 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode y= 2 sin x = 360 0.

4.          y                       = sin (x+1) f (x)                  =    sin (x+1) f (x)                  =    sin (x+k.360+1)0 f (x)                  =    sin (x+1) f (x+p)              =    sin (x+p) f (x+p)              =    f (x) sin (x+p+1)0        =    sin (x+k.360+1)0 p                       =    k.3600 p                       =    3600 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode dari y=sin (x+1) = 360 0.

Dari beberapa contah yang kami sajikan, dapat disimpulkan:

1.          y = sin x ; p= 360⁰

2.          y = sin 2x ; p = 180⁰ → y = sin bx

3.          y = 2 sin x ; p = 360⁰ → y = a sin x

4.          y = sin (x+1) ; p = 360⁰→ y = sin (bx+c)

Jadi periode dipengaruhi oleh angka/nilai setelah/di kanan sin. Dengan kata lain y = sin bx (yang berpengaruh adalah nilai b).Selain itu, kita dapat menentukan periode hanya dengan melihat grafik dari fungsi tersebut (perhatikan gambar grafik yang disajikan pada terakhir pembahasan ini!!!) dan ingat kembali pengertian dari periode yakni panjang interval sudut dimana bagian kurve berulang-ulang; jadi setiap kelipatan berapa kurve tersebut berulang, maka sebesar itulah nilai periodenya. Untuk fungsi cos dan tan sama halnya (perhatikan penyelesaian 5 dan 6!).

5.          y                    =        cos x f (x)               =       cos x f (x)               =       cos (x+k.360)0 f (x)               =       cos x f (x+p)           =       cos (x+p) f (x+p)           =       f (x) cos (x+p)0        =       cos (x+k.360)0 p                    =       k.3600 p                    =       3600 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode y=cos x = 360 0.

6.     Untuk fungsi tangen, grafiknya tidak kontinu. Dengan kata lain, terdapat asimptot setiap kelipatan 1800 atau π radian y                =            tan x f (x)           =            tan x f (x)           =            tan (x+k.180)0 f (x)           =            tan x f (x+p)       =            tan (x+p) f (x+p)       =            f (x) tan (x+p)0   =            tan (x+k.180)0 p                =            k.180 p                =            180 karena k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka kita ambil k=1. Sehingga periode y=tan x = 180 0.

b.          Tentukan amplitudo dari:

1.     y = sin x

2.     y = 2 sin x

3.     y = sin (2x+1)⁰

4.     y = sin 2x

5.     y = cos x

Jawaban :

1.          Penyelesaian

Dalam mencari amplitudo, kita harus mengetahui titik kritis terlebih dahulu.

Teorema titik kritis berbunyi :

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang membentuk titik c. jika f adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

a)     titik ijung dari I ;

b)     titik stasioner dari f (fI(c)=0); atau

c)     titik singular dari f (f^I(c) tidak ada).

Kita akan mencari amplitudo dari y = sin x. untuk f=sin x, maka titik kritisnya yaitu

a)     titik ujungnya yaitu 0⁰ dan 360⁰

b)     titik stasionernya adalah 90⁰ dan 270⁰

f = sin x

fⁱ = cos x

nilai x sehingga f^I bernilai 0 yaitu 90⁰ dan 270⁰

c)     titik singular tidak ada

Jadi, titik-titik kritisnya adalah 0⁰,  90⁰,  270⁰, dan 360⁰.

Karena rumus umum amplitudo  ,  maka harus dicari nilai maksimum dan nilai minimumnya. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, nilai-nilai titik kritis yang diproleh disubstitusikan ke  y = sin x

1.                                                                       untuk 00 y = sin 00 = 0

2.                                                                       untuk 900 y = sin 900 = 1

3.                                                                       untuk 2700 y = sin 2700 = -1

4.                                                                       untuk 3600 y = sin 3600 = 0

Jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka didapatkan :

A = 1

Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y = sin x adalah 1

2.          y = 2 sin x

cara penyelesaian dari soal ini sama halnya dengan

y = sin x. kita akan mencari titik-titik kritis terlebih dahulu

a)       titik ujungnya yaitu 0⁰ dan 360⁰

b)         titik stasionernya adalah 90⁰ dan 270⁰

f = 2 sin x

fⁱ = 2 cos x

nilai x sehingga f^I bernilai 0 yaitu 90⁰ dan 270⁰

c)          titik singular tidak ada

Selanjutnya, kita mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (0⁰, 90⁰, 270⁰, 360⁰)  ke persamaan y = 2 sin x

1.                                                                    untuk 00 y = 2 sin 00 = 2. 0 = 0

2.                                                                    untuk 900 y = 2 sin 900 = 2. 1= 2

3.                                                                    untuk 2700 y = 2 sin 2700 = 2 (-1) = -2

4.                                                                    untuk 3600 y = 2 sin 3600 = 2. 0 =0

 Jadi, didapatkan bahwa nilai maksimumnya adalah 2 dan nilai minimumnya adalah -2. Mka didapatkan :

 

Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y = sin x adalah 2

3.        y = sin (2x+1)

penyelesaian:

mencari titik kritis :

a)          titik ujungnya yaitu 0⁰ dan 360⁰

b)         titik stasionernya adalah 90⁰ dan 270⁰

f = sin (2x+1)

fⁱ = 2. cos (2x+1)

0 = 2. cos (2(44,5) + 1)⁰

0 = 2 cos (2(134,5) + 1)⁰

nilai x sehingga f^I bernilai 0 yaitu 44,5 dan 134,5

c)          titik singular tidak ada

Selanjutnya, kita mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (0⁰, 90⁰, 270⁰, 360⁰)  ke persamaan y = sin (2x+1)

1.          untuk 0⁰

y = sin 0⁰ = 0

2.          untuk 90⁰

y = sin 0⁰ = 1

3.          untuk 270⁰

y = sin 270⁰ = -1

4.          untuk 360⁰

y = sin 360⁰ = 0

 Jadi, didapatkan bahwa nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka didapatkan :

Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y = sin (2x+1) adalah 1

4.        y = sin 2x

cara penyelesaian dari soal ini sama halnya dengan y = sin x. kita akan mencari titik-titik kritis terlebih dahulu

a)          titik ujungnya yaitu 0⁰ dan 360⁰

b)         titik stasionernya adalah 90⁰ dan 270⁰

f = sin 2x

fⁱ = cos 2x

nilai x sehingga f^I bernilai 0 yaitu 45⁰ dan 135⁰

c)          titik singular tidak ada

Selanjutnya, kita mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (0⁰, 90⁰, 270⁰, 360⁰)  ke persamaan y = sin 2x

1.          untuk 0⁰

y = sin 0⁰ = 0

2.          untuk 90⁰

y = sin 90⁰ = 1

3.          untuk 270⁰

y = sin 270⁰ = -1

4.          untuk 360⁰

y = sin 360⁰ = 0

 Jadi, didapatkan bahwa nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka didapatkan :

Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y = sin 2x adalah 1

Dari beberapa contah yang kami sajikan, dapat disimpulkan:

1.          y = sin x ; A= 1

2.          y = 2 sin x ; A = 2 → y = a sin x

3.          y = sin (2x+1) ; A = 1 → y = sin (bx+c)

4.          y = sin 2x ; A = 1→ y = sin dx

Jadi Amplitudo dipengaruhi oleh angka/nilai sebelum/dikiri sin. Dengan kata lain y= A sin (bx+c)Selain itu, kita dapat menentukan amplitudo hanya dengan melihat grafik dari fungsi tersebut (perhatikan gambar grafik yang disajikan pada terakhir pembahasan ini!!!) dan ingat kembali pengertian dari amplitudo yakni jarak dari titik tengah ke titik tertinggi dan atau titik terendah fungsi; jadi dapat kita ketahui bahwa amplitudonya adalah puncak tertinggi atau terendah grafik tersebut. Untuk fungsi cos sama halnya (perhatikan penyelesaian 5!); namun, untuk fungsi tangen tidak memiliki amplitudo karena grafiknya tidak kontinu, dengan kata lain grafiknya memiliki asimtot yang membuat grafik disamping kiri asimtot terus ke atas sedangkan disamping kanan asimtot terus ke bawah (perhatikan grafik y=tan x). sehingga, fungsi tan tidak memiliki titik tertinggi ataupun terendah dan akhirnya tidak juga memiliki amplitudo.

5.     y = cos x

Seperti sebelumnya, dalam mencari amplitudo, kita harus mengetahui titik kritis terlebih dahulu.

a)          titik ijung dari I ;

b)         titik stasioner dari f (fI(c)=0); atau

c)          titik singular dari f (f^I(c) tidak ada).

Kita akan mencari amplitudo dari y = cos x. untuk f=cos x, maka titik kritisnya yaitu

a)          titik ujungnya yaitu 0⁰ dan 360⁰

b)         titik stasionernya adalah 0⁰ dan 180⁰

f = cos x

fⁱ = - sin x

nilai x sehingga fⁱ bernilai 0 yaitu 0⁰ dan 180⁰

c)          titik singular tidak ada

jadi, titik-titik kritisnya adalah 0⁰,  180⁰ dan 360⁰.

Karena rumus umum amplitudo  , maka harus dicari nilai maksimum dan nilai minimumnya. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, nilai-nilai titik kritis yang diproleh disubstitusikan ke y = cos x

1.        untuk 0⁰

y = cos 0⁰ = 1

2.        untuk 180⁰

y = sin 180⁰ = -1

3.        untuk 360⁰

y = sin 360⁰ = 1

jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Maka didapatkan :

Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y = cos x adalah 1