PERIODE DAN AMPLITUDO
Periode
merupakan panjang interval sudut di mana
bagian kurva berulang-ulang; sedangkan, Jarak dari
titik tengah ke titik tertinggi atau terendah fungsi disebut amplitudo.
Contoh
Soal :
(berikut akan kami paparkan pencarian periode dan amplitudo secara matematis)
a. Tentukan periode dari :
1.
y
= sin x
2.
y
= sin 2x
|
3.
y
= 2 sin x
4.
y
= sin (x+1)
|
5.
y
= cos x
6.
y
= tan x
|
Penyelesaian :
1.
y = sin
x
f (x) = sin
x
f (x) = sin
(x+k.360)0
f (x) = sin
x
f (x+p) = sin
(x+p)
f (x+p) = f (x)
sin (x+p)0 = sin
(x+k.360)0
p = k.3600
p = 3600
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode y=sin x = 360 0.
|
2.
y = sin 2x
f (x) = sin 2x
f (x) = sin2
(x+k.360)0
f (x) = sin 2x
f (x+p) = sin 2(x+p)
f (x+p) = f (x)
sin 2(x+p)0 = sin 2(x+k.360)0
sin (2x+2p)0 = sin 2(x+k.360)0
2p = k.3600
2p = 3600
P = 1800
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode y=sin 2x = 180 0.
|
3.
y = 2 sin x
f (x) = 2 sin x
f (x) = 2 sin
(x+k.360)0
f (x) = 2 sin x
f (x+p) = 2 sin (x+p)
f (x+p) = f (x)
2sin (x+p)0 = 2sin (x+k.360)0
p = k.3600
p = 3600
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode y= 2 sin x = 360 0.
|
4.
y = sin (x+1)
f
(x) = sin (x+1)
f
(x) = sin (x+k.360+1)0
f
(x) = sin (x+1)
f
(x+p) = sin (x+p)
f
(x+p) = f (x)
sin
(x+p+1)0 = sin (x+k.360+1)0
p = k.3600
p = 3600
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode dari
y=sin
(x+1) = 360 0.
|
Dari beberapa contah yang kami sajikan, dapat disimpulkan:
1.
y
= sin x ; p= 3600
2.
y
= sin 2x ; p = 1800 → y = sin bx
3.
y
= 2 sin x ; p = 3600 → y = a sin x
4.
y
= sin (x+1) ; p = 3600→ y = sin (bx+c)
Jadi periode
dipengaruhi oleh angka/nilai setelah/di kanan sin. Dengan kata lain y = sin bx (yang berpengaruh adalah nilai
b).Selain itu, kita dapat menentukan periode hanya dengan melihat grafik dari
fungsi tersebut (perhatikan gambar grafik yang disajikan pada terakhir
pembahasan ini!!!) dan ingat kembali pengertian dari periode yakni panjang
interval sudut dimana bagian kurve berulang-ulang; jadi setiap kelipatan berapa
kurve tersebut berulang, maka sebesar itulah nilai periodenya. Untuk fungsi cos
dan tan sama halnya (perhatikan penyelesaian 5 dan 6!).
5.
y = cos x
f
(x) = cos x
f
(x) = cos (x+k.360)0
f
(x) = cos x
f
(x+p) = cos (x+p)
f
(x+p) = f (x)
cos
(x+p)0 = cos (x+k.360)0
p = k.3600
p = 3600
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode y=cos x = 360 0.
|
6.
Untuk fungsi
tangen, grafiknya tidak kontinu. Dengan kata lain, terdapat asimptot setiap
kelipatan 1800 atau π radian
y = tan
x
f (x) = tan x
f (x) = tan
(x+k.180)0
f (x) = tan x
f (x+p) = tan (x+p)
f (x+p) = f (x)
tan (x+p)0 = tan
(x+k.180)0
p = k.180
p = 180
karena
k adalah bilangan bulat pasitif dan terkecil yang tidak sama dengan 0, maka
kita ambil k=1. Sehingga periode y=tan x = 180 0.
|
b.
Tentukan
amplitudo dari:
1. y = sin x
2. y = 2 sin x
3. y = sin (2x+1)0
4. y = sin 2x
5. y = cos x
Jawaban :
1.
Penyelesaian
Dalam mencari
amplitudo, kita harus mengetahui titik kritis terlebih dahulu.
Teorema titik
kritis berbunyi :
Andaikan f
didefinisikan pada selang I yang membentuk titik c. jika f adalah nilai
ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :
a) titik ijung dari I ;
b) titik stasioner dari f (fI(c)=0); atau
c) titik singular dari f (fI(c)
tidak ada).
Kita akan
mencari amplitudo dari y = sin x. untuk f=sin x, maka titik kritisnya yaitu
a) titik ujungnya yaitu 00 dan
3600
b) titik stasionernya adalah 900
dan 2700
f = sin x
fi = cos x
nilai x sehingga fI bernilai
0 yaitu 900 dan 2700
c) titik singular tidak ada
Jadi,
titik-titik kritisnya adalah 00, 900, 2700, dan 3600.
Karena rumus umum
amplitudo , maka
harus dicari nilai maksimum dan nilai minimumnya. Untuk mencari nilai maksimum
dan minimum, nilai-nilai titik kritis yang diproleh disubstitusikan ke y = sin x
1.
untuk
00
y = sin 00 = 0
|
2.
untuk
900
y = sin 900 = 1
|
3.
untuk
2700
y = sin 2700 = -1
|
4.
untuk
3600
y = sin 3600 = 0
|
Jadi, nilai maksimumnya
adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka didapatkan :
A = 1
Jadi didapatkan
bahwa amplitudo dari y = sin x adalah 1
2.
y
= 2 sin x
cara
penyelesaian dari soal ini sama halnya dengan
y = sin x. kita akan
mencari titik-titik kritis terlebih dahulu
a) titik ujungnya yaitu 00 dan 3600
b)
titik
stasionernya adalah 900 dan 2700
f = 2 sin x
fi = 2 cos x
nilai x sehingga
fI bernilai 0 yaitu 900 dan 2700
c)
titik
singular tidak ada
Selanjutnya, kita
mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (00, 900,
2700, 3600) ke
persamaan y = 2 sin x
1.
untuk 00
y
= 2 sin 00 = 2. 0 = 0
|
2.
untuk 900
y = 2 sin 900 = 2. 1= 2
|
3.
untuk 2700
y = 2 sin 2700 = 2 (-1) = -2
|
4.
untuk 3600
y
= 2 sin 3600 = 2. 0 =0
|
Jadi, didapatkan bahwa nilai maksimumnya
adalah 2 dan nilai minimumnya adalah -2. Mka didapatkan :
Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y =
sin x adalah 2
3.
y
= sin (2x+1)
penyelesaian:
mencari titik kritis :
a)
titik
ujungnya yaitu 00 dan 3600
b)
titik
stasionernya adalah 900 dan 2700
f = sin (2x+1)
fi = 2. cos
(2x+1)
0 = 2. cos (2(44,5) +
1)0
0 = 2 cos (2(134,5) +
1)0
nilai x sehingga
fI bernilai 0 yaitu 44,5 dan 134,5
c)
titik
singular tidak ada
Selanjutnya, kita
mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (00, 900,
2700, 3600) ke
persamaan y = sin (2x+1)
1.
untuk
00
y = sin 00 =
0
2.
untuk
900
y = sin 00 = 1
3.
untuk
2700
y = sin 2700 = -1
4.
untuk
3600
y = sin 3600 = 0
Jadi,
didapatkan bahwa nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka
didapatkan :
Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y =
sin (2x+1) adalah 1
4.
y
= sin 2x
cara penyelesaian dari
soal ini sama halnya dengan y = sin x. kita akan mencari titik-titik kritis
terlebih dahulu
a)
titik
ujungnya yaitu 00 dan 3600
b)
titik
stasionernya adalah 900 dan 2700
f = sin 2x
fi = cos 2x
nilai x sehingga
fI bernilai 0 yaitu 450 dan 1350
c)
titik
singular tidak ada
Selanjutnya, kita
mensubstitusikan titik-titik kritis yang sudah diperoleh (00, 900,
2700, 3600) ke
persamaan y = sin 2x
1.
untuk
00
y = sin 00 =
0
2.
untuk
900
y = sin 900 =
1
3.
untuk
2700
y = sin 2700
= -1
4.
untuk
3600
y = sin 3600
= 0
Jadi, didapatkan bahwa nilai maksimumnya
adalah 1 dan nilai minimumnya adalah -1. Mka didapatkan :
Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y =
sin 2x adalah 1
Dari beberapa contah yang kami sajikan,
dapat disimpulkan:
1.
y
= sin x ; A= 1
2.
y
= 2 sin x ; A = 2 → y = a sin x
3.
y
= sin (2x+1) ; A = 1 → y = sin (bx+c)
4.
y
= sin 2x ; A = 1→ y = sin dx
Jadi Amplitudo
dipengaruhi oleh angka/nilai sebelum/dikiri sin. Dengan kata lain y= A sin (bx+c)Selain itu, kita dapat
menentukan amplitudo hanya dengan melihat grafik dari fungsi tersebut
(perhatikan gambar grafik yang disajikan pada terakhir pembahasan ini!!!) dan
ingat kembali pengertian dari amplitudo yakni jarak dari titik tengah ke titik
tertinggi dan atau titik terendah fungsi; jadi dapat kita ketahui bahwa amplitudonya
adalah puncak tertinggi atau terendah grafik tersebut. Untuk fungsi cos sama
halnya (perhatikan penyelesaian 5!); namun, untuk fungsi tangen tidak memiliki
amplitudo karena grafiknya tidak kontinu, dengan kata lain grafiknya memiliki
asimtot yang membuat grafik disamping kiri asimtot terus ke atas sedangkan
disamping kanan asimtot terus ke bawah (perhatikan grafik y=tan x). sehingga,
fungsi tan tidak memiliki titik tertinggi ataupun terendah dan akhirnya tidak
juga memiliki amplitudo.
5. y = cos x
Seperti
sebelumnya, dalam mencari amplitudo, kita harus mengetahui titik kritis
terlebih dahulu.
a)
titik
ijung dari I ;
b)
titik
stasioner dari f (fI(c)=0); atau
c)
titik
singular dari f (fI(c) tidak ada).
Kita akan mencari amplitudo dari y = cos
x. untuk f=cos x, maka titik kritisnya yaitu
a)
titik
ujungnya yaitu 00 dan 3600
b)
titik
stasionernya adalah 00 dan 1800
f = cos x
fi =
- sin x
nilai x sehingga
fi bernilai 0 yaitu 00 dan 1800
c)
titik
singular tidak ada
jadi, titik-titik kritisnya adalah 00,
1800 dan 3600.
Karena rumus umum amplitudo ,
maka harus dicari nilai maksimum dan nilai minimumnya. Untuk mencari nilai
maksimum dan minimum, nilai-nilai titik kritis yang diproleh disubstitusikan ke
y = cos x
1.
untuk
00
y = cos 00 =
1
2.
untuk
1800
y = sin 1800
= -1
3.
untuk
3600
y = sin 3600
= 1
jadi, nilai maksimumnya adalah 1 dan nilai
minimumnya adalah -1. Maka didapatkan :
Jadi didapatkan bahwa amplitudo dari y =
cos x adalah 1